已知二自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼串聯(lián)系統(tǒng)模型如下圖所示：

      這個(gè)系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)量塊（小車(chē)）和三組彈簧阻尼器組成，假設(shè)地面是光滑的，這樣系統(tǒng)中沒(méi)有摩擦作用。 u1(t) 和 u2(t) 分別是兩個(gè)質(zhì)量塊所受的外力， x1(t) 和 x2(t) 分別是兩個(gè)質(zhì)量塊的位移。 m1,2、k1,2,3 和 b1,2,3 分別對(duì)應(yīng)圖中的質(zhì)量、彈簧剛度和阻尼系數(shù)。是對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)而言，輸入兩個(gè)外力，輸出兩個(gè)位移，因此這是一個(gè)多輸入多輸出系統(tǒng)。兩個(gè)小車(chē)都只能沿橫向左右運(yùn)動(dòng)，因此為二自由度系統(tǒng)。

根據(jù)牛頓第二定律，物體所受合力等于物體的慣性力，而慣性力是物體質(zhì)量與加速度的乘積。可以理解為物體受力后產(chǎn)生加速度，而有加速度存在就會(huì)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，造成物體運(yùn)動(dòng)。

對(duì)兩個(gè)質(zhì)量塊分別進(jìn)行受力分析：

首先需定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量，在這種情況下一般用物體的位移和速度作為狀態(tài)變量。設(shè)狀態(tài)向量 Z分別對(duì)應(yīng)質(zhì)量塊1的位移和速度、質(zhì)量塊2的質(zhì)量和速度:

根據(jù)上面對(duì)模型的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，當(dāng)將各狀態(tài)向量 z 對(duì)時(shí)間求導(dǎo)（微分），可以將系統(tǒng)整理為各狀態(tài)量的一階微分方程組：

因?yàn)檫@是一個(gè)線性系統(tǒng)，因此系統(tǒng)的狀態(tài)可以表示為矩陣形式：

式中，A 為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣；B 為輸入矩陣；u 為輸入（控制）向量：

      有了系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，接下來(lái)考慮系統(tǒng)的輸出，也就是我們希望得到的量。我們假設(shè)對(duì)兩個(gè)質(zhì)量塊的位移感興趣，即 z1 和 z3 ，那么就將它兩個(gè)狀態(tài)作為系統(tǒng)的輸出，則輸出方程的矩陣形式為：y = Cz;

式中，y 為輸出向量；C 為輸出矩陣：

以上，使用狀態(tài)空間模型對(duì)系統(tǒng)完成描述。

令，質(zhì)量：m = 1kg；彈簧剛度： k = 1N/m；阻尼系數(shù)：b = 1N.s/m。

則，狀態(tài)空間方程系數(shù)如下：

A = [0 1 0 0;-2 -2 1 1;0 0 0 1;1 1 -2 -2];

B = [0 0;1 0;0 0;0 1];

C = [1 0 0 0;0 0 1 0];

D = [0 0;0 0];

在北太真元建立模型如下圖所示：

設(shè)置仿真參數(shù)：

兩個(gè)質(zhì)量塊所受的外力u1是常量模塊 = 2 N； u2是階躍型號(hào)=1N。

仿真時(shí)長(zhǎng)：10s；步長(zhǎng)0.01s；求解器：ode4

得到的仿真結(jié)果，如下圖所示：